© Shutterstock

Berömd och avskydd: Så kom siffran noll till

År 628 uppfinner den indiske matematikern Brahmagupta siffran 0 och upphöjer därmed ingenting till ett tal. Den nya kunskapen är så förvirrande att människor i hela världen kommer att avsky nollan, och italienarna går så långt som att förbjuda den.

4 september 2017 av Natasja Broström

När den indiske astronomen och matematikern Brahmagupta år 628 lade sista handen vid sitt stora vetenskapliga verk Brahma Sphuta Siddhanta, visste han inte att han skulle bli både berömd och hatad.

Översatt från det indiska språket san­skrit betyder titeln ”Universums öppning”. Hela världen kom med tiden att känna till boken. 

Den 30-årige vetenskapsmannen hade arbetat med boken i åratal – tack vare ekonomiskt stöd från kung Vyaghramukha, som härskade över Brahmaguptas hemtrakter i Rajasthan i norra Indien. 

Som kunglig vetenskapsman hade Brah­ma­gup­ta i uppgift att bland annat studera himlen och fysikens lagar.

För att skaffa kunskap reste han ofta mellan hemstaden Bhillamala och det kungliga astronomiska observatoriet i Ujjain, 50 mil längre söderut.

Sina resultat och hypoteser publicerade Brahmagupta i Brahma Sphuta Siddhantas 24 kapitel utformade på vers. Versformen skulle göra texterna lättare att recitera och memorera.

Verket innehöll kapitel om de flesta vetenskapliga grenar – till exempel beskrev Brahmagupta tyngdkraftens förmåga att hålla kvar föremål på jordens yta tusen år före Newton. 

Efter att ha observerat hur ljuset föll på en gryta drog Brahmagupta slutsatsen att solen var längre bort från jorden än månen.

Utöver astronomi och fysik behandlade boken matematik, och det var i de texterna Brahmagupta med några rader utlöste en skälvning genom vetenskapens värld. 

Det indiska geniet var den förste som formulerade ett tal för ingenting, och han förklarade även hur tal kunde ha ett negativt värde. 

Brahmagupta fick tal att försvinna

Bokens teorier var överrumplande, och ingen av Brahmaguptas samtida kollegor kunde få de nya räknereglerna att stämma. 

Brahmagupta beskrev till exempel att nollan kunde ingå i uträkningar som vilken annan siffra som helst.

”När 0 tillfogas ett tal eller dras från ett tal förblir talet oförändrat. Ett tal multiplicerat med 0 blir 0”, löd en av Brahmaguptas regler.

Om 1 +/- 0 gav 1, hur kunde då 1 gånger 0 ge 0? Vart tog ettan vägen? Dåtidens matematiker var i chock. 

En annan obegriplig sak i den nya matematiken var bruket av positiva och negativa tal, som Brahmagupta kallade ”förmögenhet” respektive ”skuld”. Boken gav följande exempel på negativa tal:

”En skuld minus 0 är en skuld”, och ”multiplikation eller division av en skuld med en förmögenhet ger en skuld”.

I ett slag hade Brahmagupta gjort noll till mittpunkten på en axel med positiva tal på ena sidan och negativa tal på den andra. Ingen vanlig människa förstod dock hur tal kunde få ett negativt resultat. 

En skatteindrivare kunde inte driva in negativ skatt, och en lantbrukare kunde inte äga minus tre kor. För köpmän i dåtidens Indien gav ett tal som sju minus tretton varken resultat eller mening.

Brahmaguptas negativa tal var så obegripliga för vanliga människor att de i flera hundra år användes endast av lärda matematiker som ­räknade ut ekvationer.

Noll var ett så gränsöverskridande koncept att det tog århundraden, innan siffran fick ett genombrott. 

Det tidigaste exemplet på noll som en självständig siffra har arkeologerna hittat på en indisk stentavla från 876 – alltså 247 år efter att Brahmaguptas bok gavs ut för första gången.

Enligt inskriptionen anlade den indiska staden Gwalior, 40 mil söder om Delhi, en trädgård som varje dag kunde producera 50 blomstänglar till ett tempel. 

På stentavlan angavs 50 för första gången som fem och en liten, rund nolla.

Få VÄRLDENS HISTORIA i brevlådan

Vill du prenumerera på Världens Historia? Läs om våra fina erbjudanden

Tidigaste nollorna var kantiga

Negativa tal var dock inte Brahmaguptas uppfinning utan kom från Kina. 

I verket Nio kapitel om den matematiska kons­ten, som sammanställdes av ett antal kinesiska tänkare från cirka år 1000 före Kristus till 200 före Kristus, handlade kapitel åtta om negativa tal i ekvationer.

Redan på 400-talet efter Kristus skrev indiska matematiker om kinesernas underliga tal, men Brahmagupta gjorde komplicerade uträkningar med dem.

Nollan fanns även i en primitiv form i det gamla Babylon, långt innan Brahmagupta skrev sitt verk. 

Det babyloniska imperiet, som sträckte ut sig mellan floderna Eufrat och Tigris i dagens Irak, hade gått under nästan 1200 år innan Brahmagupta levde, men babylonierna skrev ned allting på lertavlor, som där­efter brändes i en ugn, så att inskriptionerna bevarades. 

På så sätt bevarades deras kunskaper för eftervärlden.

Arkeologer har bland annat hittat babyloniska kilskriftstavlor från cirka 700 före Kristus, på vilka noll eller ingenting har markerats som två vinklade kilar formade med skrivarens vassa griffel. 

Den babyloniska nollan var dock ingen självständig siffra utan fungerade som ett tomrum. 

Om en babylonisk köpman skrev till exempel 104, markerades nollan antingen som ett tomt utrymme mellan två siffror eller med två kilar: 1“4.

Förvirrande nog skrev babylonierna sällan tecknet för ingenting sist i ett tal. Så 140 skrevs som 14. Det var upp till läsaren av lertavlan att utläsa talets storlek utifrån sammanhanget. 

Ingen gillade babyloniernas siffror

Trots denna uppenbara nackdel var det babyloniska talsystemet bättre för bok­föring och räkenskaper än de talsystem som Medelhavsområdets stora civilisationer använde på den tiden. 

Vare sig egyptierna, grekerna eller romarna tog nollan till sig. Inte heller negativa tal möttes av något intresse.

Hos grekerna hade talteoretiker som Pythagoras (580–500 f.Kr.) och Euklides (cirka 325–265 f.Kr.) koncentrerat sig på geometriska beräkningar av trianglar och fyrkanter med hjälp av formler. 

Vanlig aritmetik, räkning med plus och minus med mera, överläts i antikens Grekland åt bönder och köpmän, som räknade på fingrarna, vilket bromsade utvecklingen av ett praktiskt system med skrivna tal.

Inte heller hos romarna och egyptierna blev nollan eller negativa tal något en skrivare räknade med. 

Bokföring – såsom förteckningar över ett lager med handelsvaror – gjordes antingen med en kulram, genom att flytta högar av småsten eller genom att räkna på fingrarna.

Ville egyptierna och romarna ange ett stort tal fick de skriva många symboler intill varandra och lägga ihop dem. 

I romarriket stod till exempel L för 50 och V för 5. Stod de båda symbolerna intill varandra som LV betydde de 55. Bytte symbolerna plats skulle V dras från L – och då betydde VL i stället 45.

Nackdelen med egyptiernas och romarnas system var att ett tal kunde bli väldigt långt.

Flera hundra år senare hade indiernas tiotalssystem med Brahmaguptas nolla slutligen kommit på en smart lösning på problemet. Ingen visade dock intresse för siffran.

Araberna såg ljuset

År 773 tog kalifen i Bag­dad emot en indisk delegation från staden Ujjain. Med sig hade in­dier­na Brahmaguptas texter. 

I synnerhet kalifens son Harun al-Rashid fascinerades av de nya vetenskapliga idéerna, och när han år 786 kom till makten samlade han all den kunskap som strömmade till Bagdad i en akademi kallad Visdomens hus.

En av akademins största tänkare var matematikern Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (cirka 780–850). 

På kalifens order kastade han sig över uppgiften att översätta Brahmaguptas verk till arabiska. Nu var äntligen siffran noll på väg mot världsberömmelse.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi insåg genast hur revolutionerande Brahmaguptas tankar var. Noll och negativa tal kunde användas för att reducera ekvationer. 

Det nya tecknet fick namnet ”sifr” på arabiska, vilket med tiden blev till ordet ”siffra” på flera europeiska språk.

Brahmaguptas bok öppnade även al-Khwarizmis ögon för de indiska siffrorna, som var enkla att skriva och enklare att förstå. 

De gick från ett till nio och hade alla en lättläst symbol. Med dem och den lilla nollan gick det att skriva ett nytt matematiskt språk, som bestod av formler med okända och ­variabler för att lösa exempelvis and­ragradsekvationer. 

Därmed kunde al-Khwarizmi skapa en helt ny matematisk disciplin: algebra.

Fusk ledde till förbud

De nya siffrorna och teorierna nådde snabbt Europa via Spanien, som araberna hade erövrat. Spanska köpmän var till en början skeptiska till de nya, hedniska siffrorna, som de kallade ”arabiska”, men till slut accepterade de dem.

Med Brahmaguptas nolla och de nio andra indiska siffrorna var det mycket lättare att stämma av räkenskaper än med de långa romerska siffrorna och talen, som många använde.

Även italienska köpmän bidrog till att införa nollan i Europa. Italienarna handlade med araberna i både Mellanöstern och Nordafrika – och insåg snart det smarta i att använda nollan och de ”arabiska” siffrorna. 

En av dem var matematikern Leonardo Fibonacci (1170–1250), som var glad att slippa kulramen, när han gjorde sina beräkningar.

Fibonacci växte upp i Nordafrika, där hans far arbetade som handels­representant för staden Pisa. 

Under åren i Afrika lärde sig den unge Fibonacci om nollan och de nya siffror som kom med arabiska köpmän österifrån. I sin bok om beräkningar, Liber Abbaci från 1202, skriver Fibonacci:

”Där (i Nordafrika, red.) introducerades jag för konsten av de nio indiska symbolerna (…) en kunskap som snart gladde mig mer än något annat”.

Matematikerns entusiasm delades av Italiens många stadsstater, som levde av handel. Somliga varnade dock för att det med de nya siffrorna blev lätta­re att luras. 

Till exempel kunde nio och sex med ett pennstreck bli till en nolla, och en etta kunde bli en sjua. Staden Florens förbjöd därför år 1299 de nya siffrorna. 

Förbudet upphävdes 1316, eftersom ingen brydde sig om det. Stadens köpmän vägrade ge upp de nya siffrorna. 

Nollan intog Europas universitet

Med renässansens intåg i 1400-talets Europa återupptäcktes gammal kunskap. Matematiker jublade, när latinska översättningar av al-Khwarizmi och dennes bearbetning av Brahmaguptas text dök upp vid västvärldens universitet.

Algebra och Brahmaguptas nolla gjorde succé, medan negativa tal avvisades som ologiska i exempelvis geometri. En kon kunde inte ha en negativ volym.

Först med koordinatsystemet, som lanserades av den franske matematikern René Descartes (1596–1650), blev Brahmaguptas negativa tal populära. 

Med Brahmaguptas regler blev det möjligt att sätta in formler i ett koordinatsystem med nollan som centrum.

I sekler fortsatte negativa tal dock att vålla så stora problem för somliga att de hatades: ”De förmörkar ekvatio­nernas doktriner och gör de saker dunkla, som till sin natur är uppenbara och enkla”, rasade den brittiske matematikern Francis Maseres så sent som 1758.

Läs mer

Victor J. Katz: The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, Princeton University Press, 2007

Kanske är du intresserad av...